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有关抽象代数中群的同态基本定理的一些疑问?

发布时间:2019-07-21 17:42 来源:未知 编辑:admin

  我最近看美国JosephJ.Rotman写的《抽象代数基础教程》,这本书内容比较丰富,但中文版的翻译不太好,我数学基础也不好,看起来有点费力,现在有关于群的同态基本定理方面的问题:若H和...

  我最近看美国Joseph J.Rotman写的《抽象代数基础教程》,这本书内容比较丰富,但中文版的翻译不太好,我数学基础也不好,看起来有点费力,现在有关于群的同态基本定理方面的问题:

  若H和K是群G的子群,H为G的正规子群,设有函数 f:K→HK/H是满射,另外,f是同态,因为它是自然映射π:G→G/H的限制,由于ker π=H,所以ker f=H∩K,这里的ker π=H和ker f=H∩K如何得到,不太明白。

  参考了几本抽象代数的教材,上面都给出了ker π=H,但没说理由。展开我来答

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  展开全部kerPi的意思是“映射Pi的‘核’”。这里与线性代数中线性映射的“核”的概念差不多,都是“在Pi映射下像是运算单位元(线性代数中的运算是加法,所以单位元是0;抽代里是e)的全部原象的集合”。

  至于后一个,ker f=H∩K。f的定义域是K,H是Pi的kernel,Pi的定义域是G,你不能保证H是K或者K的子群,所以当然是ker f=H∩K。这个是很自然的。追问HH=e,我也这样理解的,但是,商群本质上是子群H的陪集,如果要从陪集的角度思考,该如何理解?

  映射f是映射Pi在K上的限制,所以在K上Pi和f是一样的,不论性质或者结构。那么,单从K上考虑,f的Ker是Pi的Ker的一部分,直觉上这部分就是“既在K上,又在KerPi也就是H上的那些东西”,所以有ker f=H∩K。

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