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怎样通过向量空间的自同态来研究向量空间的直和分解?说一说具体

发布时间:2019-08-04 21:14 来源:未知 编辑:admin

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  展开全部我就说说复数域上有限维线性空间的情况吧。有限维线性空间的自同态就是线性变换,这个线性变换记为A。A一定存在特征多项式f(x), f(x) 在复数域上可以分解为一次因式的乘积,把它的标准分解写出来,f(x)=(x-x1)^s1(x-x2)^s2...(x-xk)^sk,那么线性空间就可以根据这个分解式有一个根子空间的直和分解。每一个根子空间特征值只有一个,通过变化可以把它转化成研究幂零线性变换的问题,研究结果是,每一个幂零子空间可以继续分解,分解成循环子空间的直和,于是每一个根子空间也可以对应地分解。我们可以证明循环子空间已经是最细的分解,不可再分了。最后,从每个“最细的”子空间里选出一组“适当的”基,线性变换A在这组基下对应的矩阵就是Jordan标准型。

  以上就是复数域上有限维线性空间Jordan标准型存在性的几何证明的大概思路。

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